我们来探究“雪花曲线”的有关问题:下图是边长为1的正三角形,将此正三角形的每条边三等分,而以居中的那一条线段为底边再作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下
问题描述:
我们来探究“雪花曲线”的有关问题:下图是边长为1的正三角形,将此正三角形的每条边三等分,而以居中的那一条线段为底边再作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下图;再将下图的每条边三等分,并重复上述的作法,得到第三个图形如下图.
(1)求第5个图形周长.
(2)求第n个图形与周长C的函数关系式.
答
(1)观察发现:第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的
.第三个在第二个的基础上,多了其周长的1 3
.依此类推,第二个周长:3×1 3
,4 3
第三个周长:3×
×4 3
,4 3
第四个周长:3×
×4 3
×4 3
.4 3
第五个周长:3×
×4 3
×4 3
×4 3
.4 3
则得到的第5个图形的周长是3×(
)4=4 3
.256 27
(2)n次分形,边长变为原来的(
)n,4 3
∴周长C=3×(
) (n−1),4 3
即第n个图形与周长C的函数关系式为:C=3×(
)n-1.4 3