我们来探究“雪花曲线”的有关问题:下图是边长为1的正三角形,将此正三角形的每条边三等分,而以居中的那一条线段为底边再作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下

问题描述:

我们来探究“雪花曲线”的有关问题:下图是边长为1的正三角形,将此正三角形的每条边三等分,而以居中的那一条线段为底边再作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下图;再将下图的每条边三等分,并重复上述的作法,得到第三个图形如下图.

(1)求第5个图形周长.
(2)求第n个图形与周长C的函数关系式.

(1)观察发现:第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的

1
3
.第三个在第二个的基础上,多了其周长的
1
3
.依此类推,第二个周长:3×
4
3

第三个周长:3×
4
3
×
4
3

第四个周长:3×
4
3
×
4
3
×
4
3

第五个周长:3×
4
3
×
4
3
×
4
3
×
4
3

则得到的第5个图形的周长是3×(
4
3
4=
256
27

(2)n次分形,边长变为原来的(
4
3
)
n

∴周长C=3×(
4
3
) (n−1)

即第n个图形与周长C的函数关系式为:C=3×(
4
3
n-1