四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且AB=BC=6,BD=8,E是AD中点,求BE与CD所成角
问题描述：
四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且AB=BC=6,BD=8,E是AD中点,求BE与CD所成角
求详解
答
过E点作EF平行于CD交AC于F（显然F为AC的中点）,连接BF.于是BE与CD所成角就是BE与EF的夹角∠BEF.在△BEF中,BE=AD/2（BE为RT△ABD斜边上的中线）；BF=AC/2（同前理）；EF=CD/2（中位线性质）.而AD、AC、CD都能用勾股定理求出,于是BE、BF、EF可确定,由余弦定理不难求出cos∠BEF.当然,由线面垂直性质可判断出CD⊥平面ABC,进而判断EF⊥平面ABC,而BF是平面ABC上的直线,于是EF⊥BF,说明△BEF为TR△,用余弦函数定义cos∠BEF=EF/BE也可轻松得解