高数极限 不要用洛必达法则
问题描述：
高数极限 不要用洛必达法则
lim (x+e^x)^(1/x) (x––>0)爪机无力追问,请给出详细步骤
答
lim (x+e^x)^(1/x)
=lim [e^x(x/e^x+1)]^(1/x)
=lim [e^x]^(1/x)[(x/e^x+1)]^(1/x)
=e lim (x/e^x+1)^(1/x)
=e lim [(1+x/e^x)^(e^x/x)]^(1/e^x)
=e lim [(1+x/e^x)^(e^x/x)]^ (lim 1/e^x)
因为x/e^x->0 (分母永远大于0)
由重要极限t->0
lim (1+t)^(1/t)=e
和
lim 1/e^x=1/1=1
则原极限
=e *(e)^1
=e^2