1960年,数学家证明存在一个正整数n,使得1335+1105+845+275=n5,推翻了数学家欧拉的一个猜想.请你求出n的值.

问题描述:

1960年,数学家证明存在一个正整数n,使得1335+1105+845+275=n5,推翻了数学家欧拉的一个猜想.请你求出n的值.

①先对n进行初步估值,
1335+1105+845+275=n5
∵1335<10×1005,1105<10×1005,845<1×1005,275<1×1005
∴1335+1105+845+275<22×1005<2005
∴133<n<200;
②求出n的个位数
1335+1105+845+275=n5
由乘方末尾数字的循环规律可知:
(1335+1105+845+275)的末尾数字与(133+110+84+27)的末尾数字相同是4;
③求n的十位数
由结论①,等式两边对3同余,
∴1335+1105+845+275≡n5(mod3),
而1335+1105+845+275≡15+25+05+05≡0(mod3),
∴n5能被3整除,
∴n能被3整除,
∴n=144或174,
仍由结论①,等式两边对7同余,
而1335+1105+845+275≡05+55+05+65≡2(mod7),
∴n5≡2(mod7),
又∵1445≡2(mod7);1745≡4(mod7),
∴n=144.