问在求函数值域时,用判别式求,如何判断自变量的取值范围.请详细说明并举几个特殊例子
问题描述:
问在求函数值域时,用判别式求,如何判断自变量的取值范围.请详细说明并举几个特殊例子
答
用判别式法求函数的值域,是把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式△≥0,从而求得原函数的值域.此方法常用于形如y=(ax^2+bx+c)/(a'x^2+b'y+c'),其中a、a'不同时为0.用判别式求函数值域时,一般不用判断自变量的取值范围,只知道x有意义就可以了.
例、求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.
将原函数变形整理为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3
当y=2时,方程(*)无解.
∴函数的值域为2<y≤10/3.
归纳:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax^2+bx+c)/(a'x^2+b'x+c')及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.