如图,已知等边△ABC,P在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证: (1)BP=CE; (2)试证明:EM-PM=AM.

问题描述:

如图,已知等边△ABC,P在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证:

(1)BP=CE;
(2)试证明:EM-PM=AM.

证明:(1)∵△ABC,△APE是等边三角形,
∴AE=AP,AC=AB,∠EAC=∠PAB=60°,
在△EAC与△PAB中,

AE=AP
∠EAC=∠PAB
AC=AB

∴△EAC≌△PAB(SAS),
∴BP=CE;
(2)∵△EAC≌△PAB,
∴∠AEM=∠APB.
在EM上截取EN=PM,连接AN.
在AEN与△APM中,
AE=AP
∠AEM=∠APB
EN=PM

∴△AEN≌△APM(SAS),
∴AN=AM;∠EAN=∠PAM.
则∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°,即△ANM为等边三角形,得:MN=AM.
所以EM-PM=EM-EN=MN=AM.