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在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则1/AD2＝1/AB2+1/AC2．在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．

分类: 作业答案 • 2022-03-31 12:18:17

问题描述：

在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则

1

AD2

＝

1

AB2

+

1

AC2

．在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．

答

类似的结论是：如图，在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则

1

AH2

＝

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

． …（4分）
证明如下：
连接BH并延长交CD于E，连接AE．∵AB，AC，AD两两垂直，
∴AB⊥平面ACD．又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE．
在Rt△ABE中，有

1

AH2

＝

1

AB2

+

1

AE2

． ①…（8分）
又易证CD⊥AE，
∴在Rt△ACD中，

1

AE2

＝

1

AC2

+

1

AD2

． ②…（10分）
将②代入①得

1

AH2

＝

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．…（12分）