几个证明题 关于正定矩阵的

以下所有的T全部为上标,是转置的意思
1、由于A正定,则A的特征值全大于0,而 A逆 的特征值全部为A特征值的倒数,因此也是全大于0,因此 A逆 正定.而 A*=|A|A逆,由于|A|为全体特征值的乘积,当然大于0,这样,A*的全体特征值一定都大于0（A*的特征值为 |A|与A逆 特征值的乘积）,因此A*正定.
2、由于A,B正定,则对于任意非零向量x,有xTAx>0,xTBx>0,因此有
xTAx+xTBx>0,即xT(A+B)x>0,所以A+B正定.
下面先证第4题
4、由(ATA)T=ATA,因此ATA为实对称矩阵,对任意向量x,有xT(ATA)x=(Ax)TAx,注意,Ax为非零向量,(Ax)TAx是行向量与列向量的乘积,结果为对应分量的平方和,大于0,因此ATA为正定矩阵.
其实4题是正定矩阵的一个重要性质,反之也成立,任何一个正定矩阵一定能写成PTP的形式,其中P可逆.
3、必要性很简单,由于A,B,AB正定,因此A,B,AB均为实对称阵,AB＝(AB)T＝BTAT＝BA
充分性：已知AB＝BA,由于A,B正定,存在可逆矩阵P,Q使得A＝PTP,B＝QTQ
下面看 Q(AB)Q逆＝Q(PTP)(QTQ)Q逆＝QPTPQT=(PQT)T(PQT),由于PQT可逆,因此由4题结论(PQT)T(PQT)正定,说明AB与一个正定矩阵相似,说明AB的特征值全大于0.再由AB＝BA＝BTAT＝（AB）T,知AB为实对称矩阵,因此AB正定.