如图,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=60°,连接AC,点E在AD上,连接BE,使∠ABE=∠CAD,BE交AC于F,将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,连接DG.若EF=9/7,CD=3,则DG的长为_.
问题描述:
如图,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=60°,连接AC,点E在AD上,连接BE,使∠ABE=∠CAD,BE交AC于F,将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,连接DG.若EF=
,CD=3,则DG的长为______.9 7
答
如图,连接BD.
∵AB∥CD,
∴∠ADC+∠BAD=180°,
又∵∠ABC=∠BAD,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠DBC=∠DAC.
∵将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,
∴∠BAG=∠BAD=60°,∠ABE=∠ABG,BG=BE,AG=AE,
∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=120°,
又∵∠ABE=∠CAD,
∴∠ABG=∠DBC=∠DAC=∠ABE,
又∵∠ABC=∠DBC+∠ABD=60°,
∴∠DBG=∠ABG+∠ABD=∠ABC=60°,
∴∠DAG+∠DBG=120°+60°=180°,
∴A、G、B、D四点共圆,
又∵A、B、C、D四点共圆,
∴A、B、C、D、G五点共圆,
∴∠BGD=∠BAD=60°,
∴∠DBG=∠BGD=60°,
∴△BDG是等边三角形,
∴DG=BD=BG,
又∵BG=BE,
∴DG=BD=BG=BE.
在△ADG与△DAC中,
,
∠ADG=∠DAC ∠DGA=∠DCA AD=DA
∴△ADG≌△DAC(AAS),
∴AG=AE=DC=3.
在△ABE与△FAE中,
,
∠ABE=∠FAE ∠AEB=∠FEA
∴△ABE∽△FAE,
∴
=AE FE
,即BE AE
=3
9 7
,BE 3
解得BE=7,
∴DG=BD=BG=BE=7.
故答案为7.