如图,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=60°,连接AC,点E在AD上,连接BE,使∠ABE=∠CAD,BE交AC于F,将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,连接DG.若EF=9/7,CD=3,则DG的长为_.

问题描述:

如图,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=60°,连接AC,点E在AD上,连接BE,使∠ABE=∠CAD,BE交AC于F,将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,连接DG.若EF=

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,CD=3,则DG的长为______.

如图,连接BD.
∵AB∥CD,
∴∠ADC+∠BAD=180°,
又∵∠ABC=∠BAD,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠DBC=∠DAC.   
∵将△ABE沿AB翻折得△ABG,点E落在点G处,
∴∠BAG=∠BAD=60°,∠ABE=∠ABG,BG=BE,AG=AE,
∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=120°,
又∵∠ABE=∠CAD,
∴∠ABG=∠DBC=∠DAC=∠ABE,
又∵∠ABC=∠DBC+∠ABD=60°,
∴∠DBG=∠ABG+∠ABD=∠ABC=60°,
∴∠DAG+∠DBG=120°+60°=180°,
∴A、G、B、D四点共圆,
又∵A、B、C、D四点共圆,
∴A、B、C、D、G五点共圆,
∴∠BGD=∠BAD=60°,
∴∠DBG=∠BGD=60°,
∴△BDG是等边三角形,
∴DG=BD=BG,
又∵BG=BE,
∴DG=BD=BG=BE.
在△ADG与△DAC中,

∠ADG=∠DAC
∠DGA=∠DCA
AD=DA

∴△ADG≌△DAC(AAS),
∴AG=AE=DC=3.
在△ABE与△FAE中,
∠ABE=∠FAE
∠AEB=∠FEA

∴△ABE∽△FAE,
AE
FE
=
BE
AE
,即
3
9
7
=
BE
3

解得BE=7,
∴DG=BD=BG=BE=7.
故答案为7.