f(x)在(a,b)上可微,f'(x)不等于0,0＜x＜b,证明：存在ξ,η∈[a,b]使得f'(ξ)=(a+b/2η)f'(η)
问题描述：
f(x)在(a,b)上可微,f'(x)不等于0,0＜x＜b,证明：存在ξ,η∈[a,b]使得f'(ξ)=(a+b/2η)f'(η)
答
证明：
对f(x)和g(x)=x^2用柯西中值定理有,存在η,使得[f(b)-f(a)]/[b^2-a^2]=f'(η)/2η
(柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续,(a、b)可导,g'(x)≠0(x∈(a,b)) 则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立)
对f(x)用拉格朗日中值定理有,存在ξ,使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ).
两式比较（相除）即得结论
f'(ξ)=(a+b/2η)f'(η)