椭圆的内接四边形面积求法
问题描述：
椭圆的内接四边形面积求法
已知a,c是椭圆x2/9+y2/4=1与x轴.y轴正半轴的交点,则椭圆内接四边形abcd面积的最大值为多少
答
x²/9+y²/4=1,a=3,b=2
A、C是椭圆x²/9+y²/4=1与x轴、y轴正半轴的交点
当B、D两点在椭圆上并且与AC距离最远时,△ABC的面积与三角形ACD的面积最大,此时椭圆的内接四边形ABCD的面积最大
欲使B、D两点在椭圆上并且与AC距离最远,则须使BD分别为与AC平行的椭圆切线的切点,
OC=b=2,OA=a=3,A（3,0）,C（0,2）,
AC=√(OA²+OC²)=√(3²+2²)=√13
AC所在直线的斜率k=(yA-yC)/(xA-xC)=(0-2)/(3-0)=-2/3,切线斜率k=-2/3
令切线y=-2/3x+b,代入x²/9+y²/4=1得：x²/9+(-2/3x+b)²/4=1,即4x²+(2x-3b)²=36,8x²-12bx+9b²-36=0
判别式△=(12b)²-4*8*(9b²-36)=16（-9b²+72)=-144(b²-8)=0,b=±2√2
两条切线分别为：y=-2/3x±2√2,即：3x-2y-6√2=0,或3x-2y+6√2=0
根据平行线之间的距离公式,两切线之间的距离h=|6√2+6√2|/√(3²+2²)=12√2 / √13
四边形ABCD最大面积 = 1/2*AC*h = 1/2*√13*12√2 / √13 = 6√2