已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)lnx(1)求函数f(x)的最值(2) 若不等式lnx≤x²+(a-2)x+1/x-a对于x∈(0,1]恒成立,求a的取值范围.只要第二问,我把第一问打出来是怕第一问有用.

问题描述:

已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)lnx(1)求函数f(x)的最值(2) 若不等式lnx≤x²+(a-2)x+1/x-a对于x∈(0,1]恒成立,求a的取值范围.只要第二问,我把第一问打出来是怕第一问有用.

lnx≤x²+(a-2)x+1/x-a
lnx≤x²+ax-2x+1/x-a
lnx-x²+2x-1/x≤a(x-1)
∵x∈(0,1]
①x-1=0时
即x=1
不等式为ln1 - 1 + 2 -1=0≤0
所以a为R
②x-1≠0
∵x∈(0,1]
∴x-1[lnx-x²+2x-1/x]/(x-1)在(0,1]的最小值 你就对这个函数一直求导能求得最小值吗?验算中求lim不求导我忘记删方法2:lnx-x²+2x-1/x]/(x-1)在(0,1]的最小值其实可以看成点(x,lnx-x²+2x-1/x)和点(1,0)的斜率的最小值设f(x)=lnx-x²+2x-1/x x属于(0,1]f’(x)=1/x+1/x²-2x+2在(0,1]单调递增,可以通过导数画出大致图像,f(x)在(0,1]的max值为0,即点(1,0),通过图像不难发现,其余的点和(1,0)的斜率均大于0,而max值时的点与(1,0)重合,斜率为0,所以kmin为0所以[lnx-x²+2x-1/x]/(x-1)在(0,1]的最小值为0