直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a.BC=2a.D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2a..求证：(1)B1F垂直平面A...
问题描述：
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a.BC=2a.D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2a..求证：(1)B1F垂直平面A...
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a.BC=2a.D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2a.
.求证：(1)B1F垂直平面ADF
(2)试在aa1上找一点E,使得BE//平面ADF
答
又直三棱柱中：BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，
∴AD⊥BB1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵B1F⊂平面BCC1B1
∴AD⊥B1F．
在矩形BCC1B1中：C1F=CD=a，CF=C1B1=2a
∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
∴∠CFD=∠C1B1F
∴∠B1FD=90°，即B1F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B1F⊥平面AFD；
（2）∵AD⊥平面BCC1B1
∴VD-AB1F=VA-B1DF=13•S△B1DF•AD
=13×
12B1F•FD×AD=
5
2a33；
（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF．
证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，
∵AE=CF=2a
∴AEFC为矩形，
∴M为EC中点，
∵D为BC中点，
∴MD∥BE，
∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF
∴BE∥平面ADF