如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D 是A1B1中点.(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
问题描述:
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=
,D 是A1B1中点.
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(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
答
(1)证明:∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1...
答案解析:(1)欲证C1D⊥平面AA1B1B,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1D与平面AA1B1B内两相交直线垂直,而ABC-A1B1C1是直三棱柱,
则∠A1C1B1=90°,从而C1D⊥A1B1,AA1⊥C1D,满足定理所需条件;
(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点FB1B的中点即为所求,根据C1D⊥平面AA1BB,AB1⊂平面AA1B1B,则C1D⊥AB1,AB1⊥DF,DF∩C1D=D,满足线面垂直的判定定理,则AB1⊥平面C1DF.
考试点:平面与平面垂直的判定.
知识点:本题主要考查了直线与平面垂直的判定.应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理,属于中档题.