已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；（2）当△OAB的面积等于10时，求k的值．
问题描述：
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；
（2）当△OAB的面积等于
时，求k的值．
10
答
（1）证明：由题意可得方程组
，
y2=-x y=k(x+1)
消去x可得ky2+y-k=0，
设A（x1，y1）B（x2，y2）由韦达定理可得y1•y2=-1，
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12y22=x1x2，
∵kOA•kOB=
=
y1y2
x1x2
=-1；1
y1y2
∴OA⊥OB，
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O．
（2） 设直线与x轴交于N，又k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0），
∵S△OAB=S△OAN+S△ONB
=
•|ON|•|y1|+1 2
•|ON|•|y2|1 2
=
|ON|•|y1-y2|，1 2
∴S△OAB=
×1×1 2
(y1+y2)2-4y 1y2
=
•1 2
=
(
)2+41 k
，
10
解得k=±
．1 6