是否存在常数abc,使等式1²+2²+3²+~~n²=an³+bn²+cn对一切正数都成立
问题描述：
是否存在常数abc,使等式1²+2²+3²+~~n²=an³+bn²+cn对一切正数都成立
用数学归纳法证明
答
存在.a=1/3 b=1/2 c=1/6
证明：1）当 n=1 时 左边=1 右边=1/3+1/2+1/6=1 等式成立 ；
当 n=2 时 左边=1+4=5 右边=(1/3)*8+(1/2)*4+(1/6)*2=5 等式也成立；
同理,当n分别为 3,4,5,...时等式仍成立.
2）设等式当n=k时成立,即 1²+2²+3²+...+k²=k³/3+k²/2+k/6
则 当n=k+1 时 1²+2²+3²+...+k²+（k+1）²=k³/3+k²/2+k/6+(k+1)²
=k³/3+k²/2+k/6+k²+2k+1
=k³/3+k²/2+k/6+k²+k+k+1/3+1/2+1/6
=(k³/3+k²+k+1/3)+(k²/2+k+1/2)+(k/6+1/6)
=(k³+3k²+3k+1)/3+(k²+2k+1)/2+(k+1)/6
=(k+1)³/3+(k+1)²/2+(k+1)/6
∴等式仍然成立
∴等式对于一切正数都成立.(⊙o⊙)…呵呵，这样做没有表明怎样猜想出来的，14分的题目要扣11分，唉唉