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求函数y=2sinx(1−sinx)3−cos2x+4sinx，x∈（0，π2）的值域．

分类: 作业答案 • 2022-03-16 08:50:48
问题描述：

求函数y=

2sinx(1−sinx)
3−cos2x+4sinx
，x∈（0，
π
2
）的值域．

答

y=

2sinx(1−sinx)
3−(1−2sin2x)+4sinx
=
−sin2x+sinx
sin2x+2sinx+1
．
设t=sinx，则由x∈（0，
π
2
）⇒t∈（0，1）．
对于y=
−t2+t
t2+2t+1
=
−(t+1)2+3(t+1)−2
(t+1)2

=-1+
3
t+1
-
2
(t+1)2
，
令
1
t+1
=m，m∈（
1
2
，1），
则y=-2m2+3m-1=-2（m-
3
4
）2+
1
8
．
当m=
3
4
∈（
1
2
，1）时，ymax=
1
8
，
当m=
1
2
或m=1时，y=0．
∴0＜y≤
1
8
，即函数的值域为y∈（0，
1
8
]．

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