您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  设P是双曲线x24−y212＝1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β（如图），求证3tanα2＝tanβ2．

设P是双曲线x24−y212＝1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β（如图），求证3tanα2＝tanβ2．

分类: 作业答案 • 2022-03-15 18:27:41
问题描述：

设P是双曲线

x2
4
−
y2
12
＝1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β（如图），求证3tan
α
2
＝tan
β
2
．

答

P是双曲线

x2
4
−
y2
12
＝1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，
∴a=2，b=2
3
，c=4，F1（-4，0），F2（4，0），
设△PF1F2的内切圆圆心为M，内切圆与x 轴的切点为N，半径为r，则M与N有相同的横坐标，
由双曲线的定义|pF1|-|PF2|=4，及切线长定理得，|NF1|-|NF2|=4，
又|NF1|+|NF2|=2c=8，∴|NF1|=6，|NF2|=2，
则tan
α
2
=
r
|NF1|
=
r
6
，tan
β
2
=
r
|NF2|
=
r
2
，
∴3tan
α
2
＝tan
β
2
．

相关推荐