定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数.

问题描述:

定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数.

证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式,
得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),
得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有
0=f(x)+f(-x).
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
答案解析:欲证f(x)为奇函数,即证f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,利用题中条件:“f(x+y)=f(x)+f(y),”使用赋值法:分别令x=y=0,得到f(0)的值;令y=-x结合f(0)即可得到f(-x)=-f(x),从而问题解决.
考试点:函数奇偶性的性质.
知识点:本题主要考查函数奇偶性的性质、抽象函数的奇偶性.函数虽然抽象,但我们必须掌握其基本方法,结合定义,使用赋值法.