一道高二数学题（属于不等式范围内之“算术平均数与几何平均数”）：求证：在直径为d 的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于 1／2 d² .

矩形边长为a,b,则a^2+b^2=d^2,
面积S=ab

设矩形的长为x,宽为y,因为矩形内接圆直径为d,所以矩形的中心o1,和圆的中心o2重合,所以o1到矩形
4个角中任意一个角的距离为d/2,通过点o1和矩形四条边的中点,将矩形一分为四,每个小的矩形对角间的距离是d/2,所以更据勾股定理得,(x/2)²+(y/2)²=(d/2)² 化简得x²+y²=d²,因为d²=x²+y²>=2xy,所以xy

设直径为d 的圆的内接矩形的长和宽分别为a,b
则有a^2+b^2=d^2,
面积S=ab当a=b时，即正方形，不等式取等号，面积最大。

用解析几何 参数方程来描述圆
x=d /2sina
y=d/2cosa
内接圆面积
S=4xy=4*d^2/4 sina cosa=sin2a *d^2/2
sin2a 最大值为1

设此矩形的长和宽分别是x、y,则：
x²＋y²=d²
又：x²＋y²≥2xy,即：xy≤(x²＋y²)/2【等号当且仅当x=y时取得】
所以,xy≤d²/2
所以,矩形面积S的最大值是d²/2,当且仅当此矩形是正方形时取得面积最大值.

首先应该知道，矩形对角线过圆心，
于是对角线长就是直径，可设两边长分别为x,y,则
x^2+y^2=d^2,
矩形面积为S=xy（a^2+b^2 >=2ab反着用）

在圆内的内接矩形，设其长为x,则宽为√(d^2-x^2),
因此其面积为S=x*√(d^2-x^2)x=d×√2/2