如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．
问题描述：
如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=
，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．
3
答
如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2．
∴AQ=2AP=2
，BQ=2CP=4，
3
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．
由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=
AP=3，
3
∴BP2=25=BQ2+PQ2，从而∠BQP=90°，
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，
∴AM=PQ，MQ=AP，
∴AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+8
，
3
故S△ABC=
AB•ACsin60°=1 2
AB2=
3
8
=3+6+7
3
2
．7
3
2
故答案为：3+
．7
3
2
答案解析：首先构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP．根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值．再根据角间的关系求得∠QAP=60°，进而得到△APQ为直角三角形、△BQP为直角三角形．再利用勾股定理求得AB2的长．利用正弦定理与三角形的面积计算公式求得△ABC的面积．
考试点：面积及等积变换．
知识点：本题考查三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，根据相似三角形的性质及勾股定理求得AB2的值．