如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC；（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．
问题描述：
如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．
答
证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，∴AM=DN在△AMD和△DNC中，AM＝DN∠A＝∠CDNAD＝DC，∴△AMD≌△DNC（SAS），∴CN=DM．∠CND=∠AMD，∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，∴CN⊥...
答案解析：（1）CN=DM，CN⊥DM，由于点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此证明△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性质证明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）延长DM、CB交于点P．由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此证明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性质即可证明题目结论；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接着得到EM=ED，设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．而在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，由此可以得到关于A′E用k表示的结论，然后利用三角函数的定义即可求解．
考试点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
知识点：此题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义，综合性比较强．