已知f(x)=−2asin(2x+π6)+2a+b,x∈[π4,3π4],是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|−3≤y≤3−1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.

问题描述:

已知f(x)=−2asin(2x+

π
6
)+2a+bx∈[
π
4
4
]
,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|−3≤y
3
−1}
?若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.

存在a=-1,b=1满足要求.∵π4≤x≤3π4,∴2π3≤2x+π6≤5π3,∴-1≤sin(2x+π6)≤32,若存在这样的有理a,b,则(1)当a>0时,-3a+2a+b=-32a+2a+b=3-1无解.(2)当a<0时,2a+2a+b=-3-3a+2a+b=3-1解得a=...
答案解析:先假设存在a,b满足条件;根据x的范围求出2x+

π
6
的范围进而得到sin(2x+
π
6
)的范围,然后对a分大于0和小于0两种情况讨论即可得到答案.
考试点:正弦函数的定义域和值域.
知识点:本题主要考查三角函数的值域问题.在解此类问题时一定要重视自变量x的取值范围才能防止出错.