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若函数f(x)＝(a−1)2−2sin2x−2acosx(0≤x≤π2)的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x）的最大值．

分类: 作业答案 • 2022-03-09 21:18:20
问题描述：

若函数f(x)＝(a−1)2−2sin2x−2acosx(0≤x≤

π
2
)的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x）的最大值．

答

函数f（x）=（a-1）2-2sin2x-2acosx
=（a-1）2-2+cos2x-2acosx
=2cos2x-2acosx+a2-2a-1．令t=cosx，则t∈[0，1]，
y＝2(t−

a
2
)2+
a2
2
−2a−1，t∈[0，1]
①当
a
2
≤0，即a≤0时，ymin＝(a−1)2−2＝−2，故a=1（舍）
②当0＜
a
2
＜1，即0＜a＜2时，ymin＝
a2
2
−2a−1＝−2
解得a＝2±
2
，取a＝2−
2
，此时ymax=-1
③当
a
2
≥1，即a≥2时，ymin＝a2−4a+1＝−2
解得a=1（舍）或a=3，，此时ymax=2
综上，当a＝2−
2
时ymax=-1；当a=3时ymax=2

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