圆M；x^2+y^2-2mx-2ny+m^2-1=0与圆N：x^2+y^2+2x+2y-2=0交于AB两点两点平分圆N圆,求圆M的半径最小时,圆M的方程
问题描述：
圆M；x^2+y^2-2mx-2ny+m^2-1=0与圆N：x^2+y^2+2x+2y-2=0交于AB两点两点平分圆N圆,求圆M的半径最小时,圆M的方程
答
AB两点两点平分圆N圆
AB为N圆直径
圆M；
(x-m)^2+(y-n)^2=1+n^2,圆心M(m,n)
圆N：
(x+1)^2+(y+1)^2=4,圆心N（-1，-1）
AB=2R=4
R^2+MN^2=AM^2
4+(m+1)^2+(n+1)^2=n^2+1
M圆心轨迹：
x^2+2x+2y+5=0 ;
(x+1)^2+2y+4=0;
2y+4≤0,y≤-2
R^2=1+y^2半径R最小
x=-1,y=-2,Rmin=√(1+2^2)=√5
方程：（x+1)^2+(y+2)^2=5
答
易知,⊙M的圆心M(m,n),半径r1=√(1+n^2).⊙N的圆心N(-1,-1),半径r2=2.由题设可得：1+n^2=(m+1)^2+(n+1)^2+4.===>-2n=(m+1)^2+4≥4.===>n≤-2.===>(r1)^2=1+n^2≥5.等号仅当n=-2时取得,故（r1)min=√5,此时,m=-1,n=-2...