关于反常积分和被积函数的关系

第一问题的答案应该是不一定,譬如*函数积分限内的瑕点,虽然当 x 趋于正无穷时,可以取到被积函数趋于0,但当 x 取得瑕点的时候,被积函趋于无穷.
例如：求 f(x)=1/x^2 在[-1,正无穷)的定积分.x 趋于正无穷时,被积函数 f(x) 趋于 0,符合你描述的情况,但他是发散的.如果没考虑到瑕点贸然求定积分得到一个原函数 -(1/x),在积分域[-1,正无穷]求值,得到结果是 -1,这是错误的,因为在积分域内有一点 x=0 使得被积函数趋于无穷大,所以要分[-1,0)U(0,正无穷)两个区别分别求定积分,再求和得到结果,只有两个区间的各自积分都收敛时,才是收敛的.实际上,通过简单计算就可发现,在[-1,0)的区别积分是发散的,所以后一个就不用求了,整体发散.
你的后一个问题我不清楚,但粗略分析一下,x 趋于正无穷,而 f(x) 也趋于正无穷,他们围成的面积也趋于无穷大,所以估计这种积分是发散的.不好意思 我没有说清楚~我说的反常积分是没有别的瑕点的~这种情况下上述问题该怎么分析呢？没有瑕点也不一定收敛。如 对被积函数 f(x)=1/x 在 [1,正无穷)求定积分，此函数在 x 趋于正无穷时，f(x) 趋于0，符合你描述的情况，且积分区间内也没有瑕点，但他的积分却是发散的。他的一个 原函数是 lnx，在[1,正无穷)求结果是无穷大。谢谢你 还有一个问题~ 定理见图片 为什么被积函数趋于0 却不符合这个定理呢？麻烦您解释一下~谢谢