已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e2-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e2-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．
答
（I） 依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)=
-1…（2分）1 1+x
由f'（x）＜0得
-1＜0，即1 1+x
＜0，解得x＞0或x＜-1，-x 1+x
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）． …（4分）
（II）求导数可得f′(x)=
-m，（x＞-1）1 1+x
（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）
（2）m＞0时，由于
-1＞-1，所以f（x）在(-1， 1 m
-1]上单调递增，在[1 m
-1， +∞)上单调递减，1 m
从而f(x)极大值=f(
-1)=m-lnm-1． …（9分）1 m
（III）由（II）问显然可知，
当m≤0时，f（x）在区间[0，e2-1]上为增函数，∴在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点． …（10分）
当m＞0时，由（II）问知f（x）极大值=f(
-1)，1 m
又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点． …（11分）
∴若f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，只需
f(e2-1)≤0 0＜
-1＜e2-11 m
即
，
2-m(e2-1)≤0
＜m＜11 e2
∴
≤m＜1…（13分）2
e2-1