若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?
若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?
另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。
由均值不等式,3a⁴+16 = a⁴+a⁴+a⁴+16 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·16)^(1/4) = 8|a|³.
即得5a³ ≤ 5|a|³ ≤ 5/8·(3a⁴+16) = 15a⁴/8+10 ①.
仍由均值不等式,3b⁴+1 = b⁴+b⁴+b⁴+1 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·1)^(1/4) = 4|b|³,
得2b³ ≤ 2|b|³ ≤ (3b⁴+1)/2 = 3b⁴/2+1/2 ②.
同理3b⁴+1 ≥ 4|c|³,故3c³ ≤ 3|c|³ ≤ 3/4·(3c⁴+1) = 9c⁴/4+3/4 ③.
①+②+③得5a³+2b³+3c³ ≤ 15a⁴/8+10+3b⁴/2+1/2+9c⁴/4+3/4 = 3(5a⁴+4b⁴+6c⁴)/8+45/4 = 45.
可验证a = 2,b = c = 1时等号成立.
即所求最大值就是45.
注:其实我是先猜到取等条件,再根据取等条件用均值不等式放缩.
如果猜不到取等条件,可以用待定系数法.
如果知道Holder不等式,可以有如下方法.
根据Holder不等式,(5a⁴+4b⁴+6c⁴)^(3/4)·(5+1/4+3/8)^(1/4) ≥ 5|a|³+2|b|³+3|c|³.
故5a³+2b³+3c³ ≤ 90^(3/4)·(45/8)^(1/4) = 45^(3/4)·45^(1/4) = 45.
等号成立当且仅当a,b,c > 0并满足5a⁴:4b⁴:6c⁴ = 5:1/4:3/8,可解得a = 2,b = c = 1.
常见的反向不等式的结论也是反向的,即能够给出的是最小值.
例如:已知实数a,b,c满足a²+b²+c² = 1,求a⁴+b⁴+c⁴的最小值.
可直接由Cauchy不等式(1+1+1)(a⁴+b⁴+c⁴) ≥ (a²+b²+c²)² = 1得a⁴+b⁴+c⁴ ≥ 1/3.
可验证|a| = |b| = |c| = 1/√3时等号成立.
不过最大值也是存在的:
由0 ≤ a²,b²,c² ≤ 1,有a⁴ ≤ a²,b⁴ ≤ b²,c⁴ ≤ c².
故a⁴+b⁴+c⁴ ≤ a²+b²+c² = 1.
可验证在|a| = 1,b = c = 0及其轮换情形取得等号.敢问您是如何猜到取等的条件啊？（不用Holder不等式？）这貌似有点困难的吧？有什么依据吗？这里的取等条件刚好是唯一的正整数解,如果题目中的数字不是随便写的, 还是挺有可能的吧.从出题的角度也不希望答案太繁琐.其实待定系数也不是很难, 观察系数比应该就可以知道a:b:c = 2:1:1.