函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x＝−b2a对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）A. {1，2}B. {1，4}C. {1，2，3，4}D. {1，4，16，64}

问题描述：

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x＝−

对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）
A. {1，2}
B. {1，4}
C. {1，2，3，4}
D. {1，4，16，64}

答

∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=−

令设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为f₁（x），f₂（x）
则必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=−

对称
也就是说x₁+x₂=−

同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=−

对称
那就得到x₃+x₄=−

，
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致，
也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和
故答案D不可能
故选D．
答案解析：根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=−b2a对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．
考试点：二次函数的性质．
知识点：本题主要考查二次函数的性质--对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．

函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x＝−b2a对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）A. {1，2}B. {1，4}C. {1，2，3，4}D. {1，4，16，64}

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