已知函数fx(x^2-2x)e^kx在(负无穷,-根号2)和【根号2,正无穷)上递增
问题描述：
已知函数fx(x^2-2x)e^kx在(负无穷,-根号2)和【根号2,正无穷)上递增
在【-根号2,根号2】上递减
求实数k
答
由题知,f(x)=(x²-2x)e^kx
在(-∞,-√2]和[√2,+∞)上递增,在[-√2,√2]上递减.
(1)对f(x)求导得
f'(x)=(2x-2)e^(kx)+(x²-2x)ke^(kx)
=(kx²+(2-2k)x-2)e^(kx)
由题知x=±√2时,
f'(x)=0,即kx²+(2-2k)x-2=0,
所以,代入得k=1求函数f(x)在区间【0，m】上的最大值和最小值(2)由(1)得，k=1,所以，f(x)=(x²-2x)e^x由题知，f(x)在[0,√2]上递减，在[√2,+∞)上递增。 又因为，f(0)=0,f(√2)=2(1-√2)e^(√2)，f(2)=0所以，m∈(0,√2],f(x)max=0, f(x)min=(m²-2m)e^m；m∈(√2,2],f(x)max=0, f(x)min=2(1-√2)e^(√2)；m∈(2,+∞),f(x)max=(m²-2m)e^m, f(x)min=2(1-√2)e^(√2)；