多项式有理根的一个问题
问题描述：
多项式有理根的一个问题
f(x)为首相系数为1的整系数多项式 f(-1) f(0) f(1)都不能被3整除 证明：f(x)没有有理根
这是高等代数的习题
答
反证法：
因为f(x)是首项系数为1的整系数多项式,所以如果f(x)有有理根,那么它一定有整根.不妨设这个整根为k.
设 f(x)= an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ a1*x + a0.
(1)若k能被3整除,则 k=3a,a是整数.因此由 f(k)=0 可知 a0 必定能被3整除,但是由 f(0)=a0 不能被3整除,矛盾.
(2)若k被3除余数是1,则 k^i 被3除余数也是1(设 k=3a+1,二项式定理简单验证一下即可),此时 f(k) 被3除的余数为 an+a(n-1)+...+a0,由 f(k)=0 可知必有 an+a(n-1)+...+a0 能被3整除.但由 f(1)=an+a(n-1)+...+a0 不能被3整除,矛盾.
(3)若k被3除余数是-1,因此 f(k) 被3除余数为 an*(-1)^n+...+a0,这正是 f(-1)被3除的余数.但是f(-1)不能被3整除,而 f(k)=0,矛盾.
综上,f(x)没有有理根.