如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证:AE=AF.(初二)

问题描述:

如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:AE=AF.(初二)

证明:连接BD,作CH⊥DE于H,
∵正方形ABCD,
∴∠DGC=90°,GC=DG,
∵AC∥DE,CH⊥DE,
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°,
∴四边形CGDH是正方形.
由AC=CE=2GC=2CH,
∴∠CEH=30°,
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°,
又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°,
∴∠F=180°-150°-15°=15°,
∴∠F=∠AEF,
∴AE=AF.
答案解析:连接BD,作CH⊥DE于H,根据正方形的性质求出正方形DGCH,求出2CH=CE,求出∠CEH=30°,根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠AEC=∠CAE=15°,求出∠F的度数即可.
考试点:正方形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;正方形的判定.
知识点:本题综合考查了等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,三角形的外角性质,正方形的性质和判定等知识点,此题综合性较强,但难度适中.