设k是实数,x1x2是方程x^2+kx-1的两个根,若(|x1|-x2)(|x2|-x1)≥1,则k的取值范围
问题描述：
设k是实数,x1x2是方程x^2+kx-1的两个根,若(|x1|-x2)(|x2|-x1)≥1,则k的取值范围
答
x1*x2=-1所以x1和x2一正一负
不妨设x10
则(|x1|-x2)(|x2|-x1)
=(-x1-x2)(x2-x1)
=(-x1)^2-x2^2
=x1^2-x2^2
=(x1+x2)(x1-x2)≥1
x1+x2=-k
k(x1-x2)≤-1
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=k^2+4
因为x10
所以x1-x2x1-x2=-√(k^2+4)
-k√(k^2+4)≤-1
k√(k^2+4)≥1
两边平方
k^2(k^2+4)≥1
k^4+4k^2-1≥0
k^2≤-2-√5,k^2≥-2+√5
k^2≤-2-√5不成立
k^2≥-2+√5
k≥√(-2+√5),k≤-√(-2+√5)