上午7:00,一列火车在A城的正北240千米处,以120千米/小时的速度驶向A城.同时,一辆汽车在A城的正东120千米处,以120千米/小时的速度向正西方向行驶.假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变,问何时火车和汽车之间距离最近?最近距离是多少千米?当火车与汽车距离最近时,汽车是否已过铁路与公路的立交处?

问题描述:

上午7:00,一列火车在A城的正北240千米处,以120千米/小时的速度驶向A城.同时,一辆汽车在A城的正东120千米处,以120千米/小时的速度向正西方向行驶.假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变,问何时火车和汽车之间距离最近?最近距离是多少千米?当火车与汽车距离最近时,汽车是否已过铁路与公路的立交处?

两小时1200米,汽车已过,

最好你还是画图看看,帮助自己思路清晰。
上午 7点整,距离公路和铁路相交的道口或者立交桥过道,火车在正北方向 240千米处,汽车在正东方向 120千米处,分别连接过道到火车或汽车,就有点儿像 3点钟的时针和分针那样,竖直指向12点位置的分针,长度是时针的两倍,也正好代表火车在道口北方 240千米处,水平指向3点位置的时针,长度是分针的一半,也正好代表汽车在道口东方 120千米处。
显然,如果等汽车来到过道,火车和汽车 1个小时都行驶了 120千米,则 120-120=0,240-120=120,7点整开始,到了 8点整,火车距离过道还有 120千米;如果等火车来到过道,汽车和火车 2个小时都行驶了 240千米,则 240-240=0,120-240= -120,到了 9点整,汽车已经穿过过道,距离又走出 120千米了。火车与汽车的最短距离,肯定就是 8点到 9点之间得到的,汽车就已经穿过铁路过道了。
连接火车和汽车,就构成一个直角三角形,我们根据勾股定理来计算火车与汽车的距离。题目中火车汽车的速度都是 120千米/时,我们就把时间设为 x,火车与汽车的距离设为 y,列个函数式,得
y" =(240- 120x)"+(120- 120x)" =[120*(2 -x)]" +[120*(1 -x)]"
y" = 14400*[4 -4x +x"] +14400*[1 -2x +x"] =14400*[5 -6x +2x"]
我们看看二次函数的抛物线,找找对称轴吧
y" =14400*[2(x"-3x) +5]
y" =14400* 2[x" -2(3/2)x +(3/2)"-(9/4)]+ 5*14400
y" =14400* 2[x -(3/2)]" -(9/2)*14400 +(10/2)*14400
y" =14400* 2[x -(3/2)]" +(1/2)*3600*4
y" =14400* 2[x -(3/2)]"+ 3600*2
显然,抛物线开口向上,对称轴是直线 x= 3/2,当 x= 3/2 时,火车和汽车的距离最短,函数式中,当 x= 3/2,y" 是最小值,y= 根号(3600*2)= 60*(根号2)= 60*1.414= 84.84
这样结果就算出来了,火车和汽车的最短距离,是 60(根号2)千米,在火车与汽车都行驶 1.5 个小时之后,从7:00开始,得到最短距离 84.84千米,就在 8:30,汽车已经穿过铁路过道了。

设x小时两车之间距离为s,可列
s=(240-120x)^2+(120-120x)^2
=14400(2x^2-6x+5)
当x=1.5时,s取得最小值
此时火车还没到A城,距离A城60Km,汽车已经过A城,超过60Km
所以两车之间距离为60*根号2即为84.8Km