已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-4x的解集为(1,3),若f(x)的最大值大于-3,求a的取值范围.

问题描述:

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-4x的解集为(1,3),若f(x)的最大值大于-3,求a的取值范围.

设f(x)=ax2+bx+c,(a<0),由题意得方程f(x)=-4x两个根是1,3,
即ax2+(b+4)x+c=0两个根是1,3.

b+4
a
=4
c
a
=3

∴b=-4a-4,c=3a
又f(x)的最大值大于-3,即
4ac−b2
4a
>−3

消去b,c得到关于a不等式,
a2+5a+4>0
解得a的取值范围是-1<a<0或a<-4.