您的位置: 首页 > 作业答案 > 其他 > 已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，则函数y＝f(x)+1f(x)(x＞0)的递减区间是______．

已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，则函数y＝f(x)+1f(x)(x＞0)的递减区间是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:59:05

问题描述：

已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，则函数y＝f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的递减区间是______．

答

由题意得，当x＞0时，f（x）=f（x•1）=xf（1）=2x．
所以y＝f(x)+

1

f(x)

(x＞0)=2x+

1

2x

（x＞0）．
令y′=2-

1

2x2

＜0，解得0＜x＜

1

2

．
所以函数y＝f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的递减区间是（0，

1

2

）．
故答案为：（0，

1

2

）．
答案解析：由题意先求出函数f（x）的解析式，从而可求出y＝f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的表达式，用导数即可求得其递减区间．
考试点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
知识点：本题考查函数解析式的求解及函数单调性的性质，解决本题的关键是利用已知条件求出函数解析式．