A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足向量OA与向量OB相乘为零,求证AB两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值
问题描述：
A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足向量OA与向量OB相乘为零,求证AB两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值
答
由题意可知,A、B两点肯定分别在x轴上下,
不妨设A点在上,B点在下.又由y^2=2px（p＞0）得y=正负根号2px,
则设A(x1,根号2px),B(x2,负根号2px).
则向量OA=(x1,根号2px1),向量OB=(x2,负根号2px2).
又因为OA⊥OB,所以向量AO乘以向量BO等于零,
则x1*x2-根号2px1*根号2px2=0
即x1*x2=2p*根号（x1*x2)
即根号（x1*x2)=2p
即x1*x2=4p^2（定值）
Y1*y2=根号2px*负根号2px=-2p根号（x1*x2)= -4p^2.