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已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:59:35
问题描述：

已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间
（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。

答

(1)g'(x)=(1-lnx)/x^2>0，则0 g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+无穷)上单调递减。
(2)h(x)=kx-lnx(x>0)，h'(x)=k-1/x=(kx-1)/x。
当k 当1/e 最小值为h(1/k)=1-ln(1/k)=1，k=1。
当k>e时，0e不符。
综上所述，若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，则k=1。

答

(1) g'(x)=(1-lnx)/x²，令g'(x)≥0，得1-lnx≥0，lnx≤1，0同理，得减函数区间为[e，+∞)
(2) h(x)=kx -lnx，h'(x)=k -1/x，
①若k≤0，则 h'(x)0，舍；
②若k>0，令h'(x)=0，解得 x=1/k，易得 h(x)在(0，1/k]上减，在[1/k，∞)上增，
ⅰ).若 01/e，舍；
ⅱ).1/eⅲ).若 k≥e，则1/e≥1/k，h(x)在[1/e，e]上增，最小值为h(1/e)=k/e+1=1，解得 k=0,舍；
从而 k=1

答

1)g'(x)=(1-lnx)/x^2=0,x=e
0

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