已知a＞0且a≠1，f(logax)＝aa2−1(x−1x)．（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性并证明．
问题描述：
已知a＞0且a≠1，f(logax)＝
(x−a
a2−1
)．1 x
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性并证明．
答
（1）令logax=t，则x=at，得f（t）=1a2−1(at− 1at)，4分）所以f（x）=1a2−1（ax-a-x）（6分）（2）因为f（x）定义域为R，又f（-x）=1a2−1（a-x-ax）=-1a2−1（ax-a-x）=-f（x），所以函数f（x）为奇函数（9...
答案解析：（1）利用换元法：令t=logax⇒x=at，代入可得f（t）=
(at− 1
a2−1
)，（t∈R），从而可得函数f（x）的解析式1 at
（2）由（1）得f（x）定义域为R，可求函数的定义域，先证奇偶性：代入f（-x）=
(1
a2−1
−ax)＝−f(x)，从而可得函数为奇函数1 ax
（3）再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）-f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性
考试点：对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
知识点：本题重点考查了函数性质的三点：①利用换元法求函数的解析式，这是求函数解析式中最为重要的方法，要注意掌握，解答此类问题的注意点：换元后要确定新元的范围，从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断，解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x1＜x2（也可x1＞x2）（ii）作差f（x1）-f（x2）（iii）定号，给出结论．