如图,点A(0,4),点B(3,0),点P为线段AB上的一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小?最小值是多少?求出此时PN的长.

问题描述:

如图,点A(0,4),点B(3,0),点P为线段AB上的一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小?最小值是多少?求出此时PN的长.

如图,连接OP.
由已知可得:∠PMO=∠MON=∠ONP=90°.
∴四边形ONPM是矩形.
∴OP=MN,
在Rt△AOB中,当OP⊥AB时OP最短,即MN最小.
∵A(0,4),B(3,0),即AO=4,BO=3,
根据勾股定理可得AB=5.
∵S△AOB=

1
2
AO•BO=
1
2
AB•OP,
∴OP=
12
5

∴MN=
12
5

即当点P运动到使OP⊥AB于点P时,MN最小,最小值为
12
5

在Rt△POB中,根据勾股定理可得:BP=
9
5

∵S△OBP=
1
2
OP•BP=
1
2
OB•PN.
∴PN=
36
25

答案解析:首先连接OP,易得四边形ONPM是矩形,即可得在Rt△AOB中,当OP⊥AB时OP最短,即MN最小,然后利用勾股定理与三角形的面积的求解,可求得MN的长;又由在Rt△POB中,根据勾股定理可得:BP=95,与S△OBP=12OP•BP=12OB•PN,继而求得PN的长.
考试点:矩形的判定与性质;坐标与图形性质;垂线段最短;勾股定理.
知识点:此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.