已知函数f(x)=(e^x-a)/x,g(x)=alnx+a若x>1时,函数f(x)的图像总在g(x)的图像的上方,求a的范围.
问题描述：
已知函数f(x)=(e^x-a)/x,g(x)=alnx+a
若x>1时,函数f(x)的图像总在g(x)的图像的上方,求a的范围.
答
即求x>1时，总有(e^x-a)/x>alnx+a成立
即总有e^x-a>ax(lnx+1)成立
即总有e^x>a[xlnx+x+1]成立 (1)
∵x>1时，xlnx+x+1>2
∴当a欲使不等式(1)在a>0时成立，首先要保证x>1时，左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>{a[xlnx+x+1]}'=a(lnx+1+1)=a(lnx+2) (2)
上述不等式成立的条件是，不等式两边再取导数时，不等式依然成立
即不等式(2)成立的条件，也要左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>[a(lnx+2)]'=a/x
当x>1时，有e^x>e, a>a/x
欲使上述不等式成立，只需保证e≥a即可
即a≤e时，可保证不等式(1)左边的增长率大于右边的增长率
在保证增长率的前提下，只需保证在x=1时，左边的函数值不小于右边函数值即可
即当x=1时，令e≥a*[0+1+1]=2a即可
解得a≤e/2
综合可得，a的取值范围为a≤e/2
答
楼上的回答还有一些地方需要纠正一下,我借用一下一些结论
即求x>1时,总有(e^x-a)/x>alnx+a成立
即总有e^x-a>ax(lnx+1)成立
即总有e^x>a[xlnx+x+1]成立
∵x>1时,xlnx+x+1>2>0
所以只需证a