设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．
问题描述：
设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．
答
依题意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x2+2ax+b，
故
解得
1+a+b+c＝−2 3+2a+b＝0
a＝c b＝−2c−3
从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或x＝−
．2c+3 3
由于f（x）在x=1处取得极值，故−
≠1，即c≠-3．2c+3 3
若−
＞1，即c＜-3，2c+3 3
则当x∈(−∞，−
)时，f′（x）＞0；2c+3 3
当x∈(−
，1)时，f′（x）＜0；2c+3 3
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
从而f（x）的单调增区间为(−∞，−
]，[1，+∞)；单调减区间为[−2c+3 3
，1]2c+3 3
若−
＜1，即c＞-3，2c+3 3
同上可得，f（x）的单调增区间为(−∞，1]，[−
，+∞)；单调减区间为[1，−2c+3 3
]2c+3 3
答案解析：根据题意，先求导，由函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，的f′（1）=0，f（1）=-2，可得用c表示a和b；令导数f′（x）=0，比较根的大小，确定函数f（x）的单调区间．
考试点：利用导数研究函数的极值．
知识点：考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，体现方程的思想，特别讨论函数的单调性，比较两根的大小，体现了分类讨论的思想方法，属难题．