如图,MN∥PQ,直线l分别交MN、PQ于点A、C,同旁内角的平分线AB、CB相交于点B,AD、CD相交于点D.试证明四边形ABCD是矩形.

问题描述:

如图,MN∥PQ,直线l分别交MN、PQ于点A、C,同旁内角的平分线AB、CB相交于点B,AD、CD相交于点D.试证明四边形ABCD是矩形.

证明:∵MN∥PQ,
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC,
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ,
∴∠BAC=

1
2
∠MAC、∠DCA=
1
2
∠ACQ,
又∵∠MAC=∠ACQ,
∴∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD,
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC,
∴∠BCA=
1
2
∠ACP、∠DAC=
1
2
∠NAC,
又∵∠ACP=∠NAC,
∴∠BCA=∠DAC,
∴AD∥CB,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD平行四边形,
∵∠BAC=
1
2
∠MAC,∠ACB=
1
2
∠ACP,
又∵∠MAC+∠ACP=180°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.