已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.(1)求抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.

问题描述:

已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.

(1)解方程x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1,由m<n,知m=1,n=5,∴A(1,0),B(0,5),∴−1+b+c=0c=5即b=−4c=5;所求抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.(2)由-x2-4x+5=0,得x1=-5,x2=1,故C的坐标为(-5,0),由...
答案解析:(1)通过解方程可求出m、n的值,也就求出了点A、B的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式.
(2)抛物线的解析式中,令y=0可求得C点坐标,利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标;由于△BCD的面积无法直接求得,可过D作x轴的垂线,设垂足为E,分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积,那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面积,即可得到△BCD的面积.
(3)若直线BC平分△PCH的面积,那么直线BC必过PH的中点,因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高,可设出点P的坐标,根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标,进而可求得PH中点的坐标,由于PH中点在直线BC上,可将其代入直线BC的解析式中,由此求出点P的坐标.
考试点:二次函数综合题.


知识点:此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识,难度不大.