已知方程3x的平方+2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有两个相等的实数根,其中a,b,c是一个三角形的三条边
问题描述：
已知方程3x的平方+2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有两个相等的实数根,其中a,b,c是一个三角形的三条边
求证：这个三角形是等边三角形
答
方程3x的平方+2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有两个相等的实数根,所以
4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=0
(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=0
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
上式两边乘以2,再处理一下,可得
a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0,
从而a=b=c,
故这个三角形是等边三角形.