设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明b,Ab,A^2b线性无关

问题描述:

设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明b,Ab,A^2b线性无关

反证法.如果它们线性相关,即存在不全为零的实数 p,q,r 使得 pb+qAb+rA^2b=0,将b=a1+a2+a3 代入并且由a1,a2,a3 是对应于 t1,t2,t3 的特征值可得:p(a1+a2+a3)+qA(a1+a2+a3)+rA^2(a1+a2+a3)=p(a1+a2+a3)+q(t1a1+t2a2+t...