已知a,b为关于x方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0的两个实数根（其中k为实数）,求a^2+b^2的最大值和最小值?
问题描述：
已知a,b为关于x方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0的两个实数根（其中k为实数）,求a^2+b^2的最大值和最小值?
答
根据韦达定理，
a+b=(k-2)
ab=k²+3k+5
因为，a²+b²=(a+b)²-2ab=(k-2)²-2(k²+3k+5)=-k²-10k-6=-(k+5)²+19
∵K∈R
∴(k+5)²≥0
∴-(k+5)²≤0
∴-(k+5)²+19≤19
∴a²+b²≤19
∴其最大值为19
又因为a+b)²≥0
∴a²+b²-2ab≥0===》a²+b²≥2ab
由∵2ab=2(k²+3k)+10=2(k+3/2)²+11/2
∵K∈R
∴(k+3/2)²≥0
∴2ab≥11/2
∴a²+b²≥11/2
综上，a²+b²的最小值为11/2，最大值为19
答
有两不等实根,先由判别式定k的取值范围：由韦达定理：(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>0 整理,得：3k^2+16k+16>0 (k+8/3)^2>16/9 解得：k>-4/3或k