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已知抛物线y=x2+kx-34k2（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且1ON−1OM＝23，求k的值．

分类: 作业答案 • 2022-02-23 21:42:11
问题描述：

已知抛物线y=x2+kx-

3
4
k2（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且
1
ON
−
1
OM
＝
2
3
，求k的值．

答

（1）△=k2-4×1×（-34k2）=4k2∵k＞0，∴△=4k2＞0．∴此抛物线与x轴总有两个交点．（2）方程x2+kx-34k2=0的解是：x=12k或x=-32k．∵1ON−1OM＝23＞0，∴OM＞ON．∵k＞0，∴M（-32k，0），N（12k，0），∴OM=32k，...
答案解析：（1）可让y=0，然后证所得的一元二次方程满足△＞0即可．
（2）根据（1）的一元二次方程可求出方程的两个根，也就是M、N两点的横坐标，根据给出的条件

1
ON
−
1
OM
＝
2
3
，可得出M点横坐标的绝对值要大于N的横坐标的绝对值，因此可据此确定M、N两点的坐标，即可得出OM，ON的长，然后代入给出的等量关系中，即可求出k的值．
考试点：二次函数综合题．
知识点：本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的y值为0时就可转化成一元二次方程．

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