如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．（1）求证：△ACE∽△CFB；（2）若AC=6，BC=4，求OH的长．
问题描述：
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．
（1）求证：△ACE∽△CFB；
（2）若AC=6，BC=4，求OH的长．
答
知识点：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°；∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB；在△ACE与△BCF中，∠CAE=∠FCB，∠E=∠B，∴△ACE∽△CFB；（2）延长AE、CB交于点M；∵∠FCB=45°...
答案解析：（1）△ACE、△CFB中，已知的相等角有∠CEA=∠CBA（同弧所对的圆周角），只需再找出一组对应角相等即可；易知∠ACB是直角，由于CD平分∠ACB，则∠ACH=∠FCB=45°；在Rt△CAH中，易证得∠HAC=45°，则∠CAH=∠FCB，由此得证；
（2）本题需通过构建直角三角形求解；延长CB交AE的延长线于M；由于∠ACB=90°，∠CAE=45°，易证得△CAM是等腰Rt△，由此可求出CM、BM的长；△ACM中，根据等腰三角形三线合一的性质可知：H是AM的中点，则OH是△ABM的中位线，即OH=
BM，由此得解．1 2
考试点：相似三角形的判定；圆周角定理．
知识点：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．