如图所示,长为l的绳子下端连着质量为m的小球,上端悬于天花板上,当把绳子拉直时,绳子与竖直线夹角为60°,此时小球静止于光滑水平桌面上.(1)当球以ω=gl做圆锥摆运动时,绳子张力T为多大?桌面受到压力N为多大?(2)当球以角速度ω=4gl做圆锥摆运动时,绳子的张力及桌面受到的压力各为多少?

问题描述:

如图所示,长为l的绳子下端连着质量为m的小球,上端悬于天花板上,当把绳子拉直时,绳子与竖直线夹角为60°,此时小球静止于光滑水平桌面上.

(1)当球以ω=

g
l
做圆锥摆运动时,绳子张力T为多大?桌面受到压力N为多大?
(2)当球以角速度ω=
4g
l
做圆锥摆运动时,绳子的张力及桌面受到的压力各为多少?

(1)对小球受力分析,作出力图如图1.
根据牛顿第二定律,得
   Tsin60°=mω2Lsin60°①
   mg=N+Tcos60°  ②
又ω=

g
l

解得
   T=mg,N=
1
2
mg

(2)设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω0,即N=0
代入①②得ω0=
2g
L

由于ω=
4g
l
>ω0,故小球离开桌面做匀速圆周运动,则N=0此时小球的受力如图2.设绳子与竖直方向的夹角为θ,则有
  mgtanθ=mω2•Lsinθ③
   mg=Tcosθ        ④
联立解得  T=4mg
答:
(1)当球以ω=
g
l
做圆锥摆运动时,绳子张力T=mg,桌面受到压力N=
1
2
mg

(2)当球以角速度ω=
4g
l
做圆锥摆运动时,绳子的张力为4mg,桌面受到的压力为零.
答案解析:(1)当球做圆锥摆运动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力,再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力.
(2)当小球对桌面恰好无压力时,由重力和绳子拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度.根据角速度ω=
4g
l
与临界角速度的关系,判断小球是否离开桌面.若小球桌面做圆周运动,再由牛顿第二定律求解绳子的张力.
考试点:牛顿第二定律;向心力.
知识点:本题是圆锥摆问题,分析受力,确定向心力来源是关键,实质是牛顿第二定律的特殊应用.